Упр.30.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) (ctg(x)+a)/(tg(x)-2)=0; 2) (cos(x)-a)/(ctg^2(x)-3)=0?

Подробный ответ

$$\frac{\ctg x+a}{\tg x-2}=0$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.
Преобразуем:
$$\tg x=\frac{1}{\ctg x}, \qquad \frac{\ctg x+a}{\tg x-2}=0 \iff \frac{\ctg x+a}{\frac{1}{\ctg x}-2}=0.$$
Следовательно, нужно, чтобы
$$\ctg x+a=0,$$
при условиях
$$\ctg x\ne 0,\qquad \frac{1}{\ctg x}-2\ne 0.$$
Из числителя получаем
$$\ctg x=-a.$$
Это возможно при любом $a$, кроме тех значений, которые запрещают условия:
$$\ctg x\ne 0 \Rightarrow a\ne 0,$$
$$\frac{1}{\ctg x}-2\ne 0 \Rightarrow \ctg x\ne \frac12 \Rightarrow a\ne -\frac12.$$
Значит, уравнение имеет решения при всех $a$, кроме $0$ и $-\frac12$.
$$\frac{\cos x-a}{\ctg^2 x-3}=0$$
Аналогично, дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Запишем знаменатель через $\sin x$:
$$\ctg^2 x-3=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-3=\frac{\cos^2 x-3\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{4\cos^2 x-3}{\sin^2 x}.$$
Тогда
$$\frac{\cos x-a}{\ctg^2 x-3}=0 \iff \cos x-a=0,$$
при условиях
$$\ctg^2 x-3\ne 0,\qquad \sin x\ne 0.$$
Из числителя:
$$\cos x=a.$$
Чтобы такое уравнение имело решения, нужно
$$-1\le a\le 1.$$
Теперь учтём ограничения:
$$\ctg^2 x\ne 3 \iff \cos x\ne \pm \frac{\sqrt3}{2},$$
$$\sin x\ne 0 \iff \cos x\ne \pm 1.$$
Значит, значения $a=\pm 1$ и $a=\pm \frac{\sqrt3}{2}$ исключаются.
Итак, уравнение имеет решения при
$$a\in\left(-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right).$$