Упр.3.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) A?A; 5) (A?B)?(B?A);
2) !(A?!A); 6) A?(A?B)?B;
3) A?!A?B; 7) !B?(A?B)?!A;
4) A?(B?A); 8) ((A?B)?(B?C))?(A?C).

Подробный ответ

$$A \Rightarrow A$$
Импликация ложна только при $$A=1$$ и $$A=0$$ одновременно, что невозможно. Значит, выражение всегда истинно.
$$\overline{A \cap \overline{A}}$$
Выражение $$A \cap \overline{A}$$ всегда ложно, поэтому его отрицание всегда истинно.
$$A \cap \overline{A} \Rightarrow B$$
Левая часть всегда ложна, а импликация с ложным основанием всегда истинна.
$$A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$$
Если $$A=0$$, то импликация истинна. Если $$A=1$$, то $$B \Rightarrow A$$ также истинна, так как заключение $$A$$ истинно. Следовательно, всё выражение — тавтология.
$$(A \Rightarrow B) \cup (B \Rightarrow A)$$
Если $$A \Rightarrow B$$ ложно, то это возможно только при $$A=1$$, $$B=0$$, а тогда $$B \Rightarrow A$$ истинно. Значит, хотя бы одна из импликаций всегда истинна.
$$A \cap (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$$
Если левая часть истинна, то истинны и $$A$$, и $$A \Rightarrow B$$, а значит, истинно $$B$$. Следовательно, импликация всегда истинна.
$$\overline{B} \cap (A \Rightarrow B) \Rightarrow \overline{A}$$
Если истинны $$\overline{B}$$ и $$A \Rightarrow B$$, то при $$A=1$$ из импликации следовало бы $$B=1$$, что противоречит $$\overline{B}$$. Значит, обязательно $$\overline{A}=1$$.
$$\bigl((A \Rightarrow B) \cap (B \Rightarrow C)\bigr) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$$
Это правило транзитивности импликации: из $$A \Rightarrow B$$ и $$B \Rightarrow C$$ следует $$A \Rightarrow C$$. Поэтому выражение истинно при любых значениях $$A, B, C$$.