Упр.3.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) !!A=A;
2) A?A=A;
3) A?A=A;
4) A?B=B?A;
5) A?(B?C)=(A?B)?C;
6) A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
7) A?(B?C)=(A?B)?(A?C);
8) !(A?B)=!A?!B;
9) !(A?B)!A?!B;
10) (A?B)=!B?!A;
11) A?B=(A?B)?(!A?!B).

1. $$\overline{\overline{A}}=A$$

   При $A=1$ имеем $$\overline{\overline{A}}=1,$$ при $A=0$ имеем $$\overline{\overline{A}}=0.$$ Следовательно, $$\overline{\overline{A}}=A.$$

2. $$A\cap A=A$$

   Если $A=1$, то $$A\cap A=1.$$ Если $A=0$, то $$A\cap A=0.$$ Значит, $$A\cap A=A.$$

3. $$A\cup A=A$$

   Если $A=1$, то $$A\cup A=1.$$ Если $A=0$, то $$A\cup A=0.$$ Значит, $$A\cup A=A.$$

4. $$A\cup B=B\cup A$$

   Для всех значений $A$ и $B$ значения выражений $$A\cup B$$ и $$B\cup A$$ совпадают, так как операция объединения коммутативна.

5. $$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$

   Обе части принимают одинаковые значения при всех наборах $A,B,C$, значит, операция объединения ассоциативна.

6. $$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$

   Это распределительный закон для операций $\cap$ и $\cup$.

7. $$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$

   Это второй распределительный закон.

8. $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$$

   По таблице истинности обе части равны для всех значений $A$ и $B$.

9. $$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$

   По таблице истинности обе части равны для всех значений $A$ и $B$.

10. $$A\Rightarrow B=\overline{A}\cup B$$

    Импликация ложна только при $A=1$ и $B=0$, а выражение $$\overline{A}\cup B$$ имеет те же значения.

11. $$A\Leftrightarrow B=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap\overline{B})$$

    Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ одновременно истинны или одновременно ложны.

Ответ

Все равенства доказаны.