Упр.3.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

A?{элемент m цепи функционирует нормально};
B?{элемент n цепи функционирует нормально}.
Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности f:
1) f(A?B)=1; 3) f(A?B)=0; 5) f(!A?B)=0.
2) f(A?B)=0; 4) f(!A?B)=1;

Подробный ответ

Цепь замкнута тогда и только тогда, когда истинно высказывание, соответствующее схеме соединения элементов. Обозначим:

$$A=\{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\}, \quad B=\{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}.$$

Тогда для каждого случая проверим значение функции истинности.

$$f(A \cap B)=1.$$
Это означает, что оба элемента работают нормально: $$f(A)=1,\ f(B)=1.$$
Следовательно, цепь замкнута.
$$f(A \cap B)=0.$$
Возможны разные случаи: $$f(A)=1,\ f(B)=0$$ или $$f(A)=0,\ f(B)=1$$ или $$f(A)=0,\ f(B)=0.$$
Поэтому однозначно сказать, замкнута ли цепь, нельзя.
$$f(A \cup B)=0.$$
Это возможно только тогда, когда оба высказывания ложны:
$$f(A)=0,\ f(B)=0.$$
Значит, цепь не замкнута.
$$f(\overline{A}\cap B)=1.$$
Тогда $$f(A)=0,\ f(B)=1.$$
Следовательно, цепь замкнута.
$$f(\overline{A}\cup B)=0.$$
Это возможно только при
$$f(\overline{A})=0,\ f(B)=0,$$
то есть
$$f(A)=1,\ f(B)=0.$$
Следовательно, цепь замкнута.