Упр.29.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1) $$\sqrt{2}\sin(x)+\cos(x)=2$$;
2) $$\sqrt{2}\sin(x)-\sqrt{2}\cos(x)=1$$;
3) $$3\sin\left(\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)=3$$.

1) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2.$$

Так как $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}, \qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6},$$

получаем

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=2,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1.$$

Преобразуем:

$$2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=1.$$

Так как $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\frac{\pi}{4}, \qquad \frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\frac{\pi}{4},$$

то

$$2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)=1,$$

$$2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$3\sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=3.$$

Преобразуем левую часть:

$$2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac12\cos\frac{x}{2}\right)=3.$$

Так как $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}, \qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6},$$

получаем

$$2\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=3,$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$