Упр.29.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v2sin(x)+cos(x)=2;
2) v2sin(x)-v2cos(x)=1;
3) 3sin(x/2)+v3cos(x/2)=3.

1. $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2$$

   $$\cos\frac{\pi}{6}\sin x+\sin\frac{\pi}{6}\cos x=1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=1$$

   $$2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=1$$

   $$\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x=\frac12$$

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12$$

   $$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$3\sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=3$$

   $$2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac12\cos\frac{x}{2}\right)=3$$

   $$\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Отсюда:

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

   $$x=\pi+4\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\ x=\pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$