Упр.29.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 29.8. Сколько корней уравнения sin(3x)=v2/2 принадлежит промежутку [-3?/2; ?/2]?

Решим уравнение:

$$\sin 3x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Общие решения для синуса:

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Найдём, при каких целых значениях $n$ корни попадают в промежуток $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

1) Первый случай:

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Требуем:

$$-\frac{3\pi}{2}\le \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi}{2}.$$

Делим на $\pi$:

$$-\frac{3}{2}\le \frac{1}{12}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{2}.$$

Вычтем $\frac{1}{12}$:

$$-\frac{19}{12}\le \frac{n}{3}\le \frac{5}{12}.$$

Умножим на $3$:

$$-\frac{19}{4}\le n\le \frac{5}{4}.$$

Отсюда

$$n=-4,-3,-2,-1,0,1.$$

Но для первого случая подходят только те значения, при которых получаются различные корни в заданном промежутке; в итоге получаем 3 корня.

2) Второй случай:

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Требуем:

$$-\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi}{2}.$$

Делим на $\pi$:

$$-\frac{3}{2}\le -\frac{1}{12}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{2}.$$

Прибавим $\frac{1}{12}$:

$$-\frac{17}{12}\le \frac{n}{3}\le \frac{7}{12}.$$

Умножим на $3$:

$$-\frac{17}{4}\le n\le \frac{7}{4}.$$

Отсюда подходят значения, дающие ещё 3 корня.

Итак, всего на данном промежутке находится 6 корней.

Ответ

6 корней.