Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите все корни уравнения $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Решим уравнение

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Обозначим

$$x-\frac{\pi}{3}=t.$$

Тогда

$$\sin t=\frac12,$$

откуда

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

Теперь найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

1) Для $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ подходит только $$n=0$$, тогда

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

2) Для $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$ подходит только $$n=-1$$, тогда

$$x=\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}.$$

Итак, на заданном промежутке корни уравнения:

$$-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}$$