Упр.29.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   2) $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$;
   3) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$.

1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Для уравнения $$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем

$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$

Для уравнения $$\sin t=-1$$ имеем

$$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{x}{3}+1=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$\frac{x}{3}=-1-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$

Перенесём 1 вправо:

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=1,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{12}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{12}-3x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Решаем каждое уравнение:

$$-3x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi n}{3}.$$

Переобозначая номер целого числа, получаем

$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Во втором случае:

$$-3x=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{2\pi}{9}-\frac{2\pi n}{3}.$$

Переобозначая номер целого числа, получаем

$$x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\ \ x=\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\ \ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$