Упр.29.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x-?/6)=v2/2;
2) sin(x/3+1)=-1;
3) v2sin(?/12-3x)-1=0.

1. $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Для уравнения $$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем:

   $$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$

   Для уравнения $$\sin t=-1$$ имеем:

   $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3}+1=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{3}=-1-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$

   Перенесём 1 вправо:

   $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=1,$$

   $$\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{12}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{12}-3x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Решаем каждое уравнение:

   $$-3x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$x=-\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi n}{3};$$

   $$-3x=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{12}+2\pi n=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$x=-\frac{2\pi}{9}-\frac{2\pi n}{3}.$$

   Переобозначая целое число, получаем:

   $$x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; x=\frac{11\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

2) $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

3) $$x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\; x=-\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$