Упр.29.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   
   1) $$\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   
   2) $$\sin\left(\frac{x}{7}\right)=0$$;
   
   3) $$\sin\left(\frac{2x}{5}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1) $$\sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}$$

Для уравнения $$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}$$ имеем:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\frac{x}{7}=0$$

Синус равен нулю, когда аргумент кратен $$\pi$$:

$$\frac{x}{7}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=7\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin\frac{2x}{5}=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Для уравнения $$\sin t=-\frac{\sqrt3}{2}$$ получаем:

$$t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{2x}{5}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

откуда

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{3}+5\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=7\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=(-1)^{n+1}\frac{5\pi}{6}+\frac{5\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$