Упр.29.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin\left(\frac{x}{6}\right)=-\frac{1}{2}$$;
2. $$\sin(5x)=1$$;
3. $$\sin(-8x)=\frac{2}{9}$$.

1) $$\sin\frac{x}{6}=-\frac12$$

Для уравнения $$\sin t=-\frac12$$ имеем:

$$t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{x}{6}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 5x=1$$

Для уравнения $$\sin t=1$$ получаем:

$$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$5x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin(-8x)=\frac29$$

Так как $$\sin(-u)=-\sin u,$$ то

$$\sin(8x)=-\frac29.$$

Для уравнения $$\sin t=-\frac29$$ имеем:

$$t=(-1)^{n+1}\arcsin\frac29+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$8x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac29+\pi n,$$

и тогда

$$x=\frac{(-1)^{n+1}}{8}\arcsin\frac29+\frac{\pi n}{8},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^{n+1}\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\frac{(-1)^{n+1}}{8}\arcsin\frac29+\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z.$$