Упр.29.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin(x)=\frac{1}{2}$$; 3) $$\sin(x)=\frac{\sqrt{5}}{3}$$; 2) $$\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 4) $$\sin(x)=1{,}5$$.

1) $$\sin x=\frac12.$$

Так как $$\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6},$$ то

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ то

$$x=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin x=\frac{\sqrt5}{3}.$$

Поскольку $$\sqrt5<3,$$ то $$0<\frac{\sqrt5}{3}<1,$$ и уравнение имеет решения:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin x=1{,}5.$$

Так как для любого $$x$$ выполняется $$-1\le \sin x\le 1,$$ а $$1{,}5>1,$$ то уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt5}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
4) решений нет.