Упр.29 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) x^(1/3)=a-x; 2) x^(1/4)=a-x?

1. Рассмотрим уравнение $$\sqrt[3]{x}=a-x.$$
   Обозначим $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ и $$g(x)=a-x.$$
   Функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой, и функция $$g(x)$$ тоже убывает на всей числовой прямой. Значит, графики могут пересечься не более чем в одной точке.
   При этом при больших отрицательных и больших положительных $$x$$ значения левой и правой частей меняются так, что пересечение существует. Следовательно, уравнение имеет ровно один корень при любом $$a\in \mathbb{R}$$.
2. Рассмотрим уравнение $$\sqrt[4]{x}=a-x.$$
   Здесь необходимо учитывать область определения:
   $$x\ge 0,$$
   а также
   $$\sqrt[4]{x}\ge 0 \Rightarrow a-x\ge 0,$$
   то есть
   $$0\le x\le a.$$
   Если $$a<0,$$ то таких $$x$$ нет, значит, корней нет. Если $$a\ge 0,$$ то на отрезке $$[0;a]$$ левая часть $$\sqrt[4]{x}$$ возрастает, а правая часть $$a-x$$ убывает, поэтому пересечение может быть только одно. Проверка показывает, что оно действительно есть, значит, корень один.

Ответ

1) один корень при любом $$a\in \mathbb{R}$$; 2) если $$a<0$$, то корней нет; если $$a\ge 0$$, то один корень.