Упр.29.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 29.18. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение (cos(x)-a)(sin(x)+1/2)=0 на промежутке (0; 2?]?

Рассмотрим уравнение

$$\bigl(\cos x-a\bigr)\left(\sin x+\frac12\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos x-a=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\frac12=0.$$

1) Из уравнения $$\cos x=a$$ на промежутке $$\left(0;2\pi\right]$$ корни существуют:

• 2 корня, если $$-1<a<1$$ и $$a\ne \pm \frac{\sqrt3}{2};$$
• 1 корень, если $$a=\pm 1$$ или $$a=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

2) Из уравнения

$$\sin x=-\frac12$$

на промежутке $$\left(0;2\pi\right]$$ получаем два корня:

$$x=\frac{7\pi}{6}, \quad x=\frac{11\pi}{6}.$$

Теперь учитываем возможные совпадения корней двух уравнений.

Совпадение происходит, если

$$\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значит:

• при $$a=-\frac{\sqrt3}{2}$$ один из корней уравнения $$\cos x=a$$ совпадает с $$\frac{7\pi}{6}$$, поэтому всего 3 корня;
• при $$a=\frac{\sqrt3}{2}$$ один из корней уравнения $$\cos x=a$$ совпадает с $$\frac{11\pi}{6}$$, поэтому всего 3 корня;
• при $$a=\pm 1$$ уравнение $$\cos x=a$$ даёт по одному корню, не совпадающему с корнями уравнения $$\sin x=-\frac12$$, поэтому всего 3 корня.

Если же $$a\in\left(-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right),$$ то уравнение $$\cos x=a$$ даёт 2 корня, и оба корня из $$\sin x=-\frac12$$ остаются различными, значит всего 4 корня.

Если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ то уравнение $$\cos x=a$$ корней не имеет, и остаются только 2 корня из второго множителя.

Ответ

$$ \begin{cases} 2, & a<-1 \text{ или } a>1,\\ 3, & a\in\left\{-1,-\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3}{2},1\right\},\\ 4, & a\in\left(-1;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(-\frac{\sqrt3}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right). \end{cases} $$