Упр.29.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 29.17. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение (cos(x)-v2/2)(sin(x)-a)=0 на промежутке [0; 2?)?

Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\right)(\sin x-a)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x=a.$$

На промежутке $$[0;2\pi)$$ уравнение

$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

имеет два корня:

$$x=\frac{\pi}{4}, \quad x=\frac{7\pi}{4}.$$

Теперь рассмотрим уравнение $$\sin x=a$$ на промежутке $$[0;2\pi)$$:

• если $$a<-1$$ или $$a>1$$, корней нет;
• если $$a=-1$$ или $$a=1$$, по одному корню;
• если $$a=-\frac{\sqrt2}{2}$$ или $$a=\frac{\sqrt2}{2}$$, по два корня;
• если $$-1<a<-\frac{\sqrt2}{2}$$, $$-\frac{\sqrt2}{2}<a<\frac{\sqrt2}{2}$$ или $$\frac{\sqrt2}{2}<a<1$$, то уравнение имеет два корня.

Нужно учесть совпадение корней двух множителей. Значения $$\sin x$$ в точках, где $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$, равны

$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Поэтому:

• при $$a<-1$$ или $$a>1$$ получаем только 2 корня;
• при $$a=-1,\,-\frac{\sqrt2}{2},\,\frac{\sqrt2}{2},\,1$$ один из корней совпадает, и всего 3 корня;
• при остальных значениях $$a\in[-1;1]$$ корни не совпадают, и всего 4 корня.

Ответ

$$ \begin{cases} 2, & a<-1 \text{ или } a>1,\\ 3, & a\in\left\{-1,\,-\frac{\sqrt2}{2},\,\frac{\sqrt2}{2},\,1\right\},\\ 4, & a\in(-1;-\frac{\sqrt2}{2})\cup\left(-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt2}{2};1\right). \end{cases} $$