Упр.29.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 29.14. При каких отрицательных значениях параметра а промежуток [а; 0] содержит не менее трёх корней уравнения sin(x)=-1/2?

Подробный ответ

Решим уравнение:

$$\sin x=-\frac12.$$

Его корни имеют вид

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Нужно, чтобы промежуток $$[a;0]$$ содержал не менее трёх корней. Так как $$0$$ — правая граница промежутка, рассмотрим три наибольших корня, не превосходящих нуля:

$$x_1=-\frac{\pi}{6},\quad x_2=-\frac{5\pi}{6},\quad x_3=-\frac{13\pi}{6}.$$

Чтобы в отрезке $$[a;0]$$ было не менее трёх корней, левая граница должна быть не правее третьего из них:

$$a\le -\frac{13\pi}{6}.$$

Так как по условию $$a<0$$, получаем

$$a\in\left(-\infty;-\frac{13\pi}{6}\right].$$