Упр.29.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 29.13. При каких положительных значениях параметра а промежуток [-?/2; a] содержит не менее четырех корней уравнения sin(x)=1/2?

Решим уравнение:

$$\sin x=\frac12.$$

Его корни имеют вид

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Перечислим корни, попадающие в промежуток $$\left[-\frac{\pi}{2};\,a\right].$$

При $$n=0$$ получаем

$$x_1=\frac{\pi}{6}.$$

При $$n=1$$ получаем

$$x_2=\frac{5\pi}{6}.$$

При $$n=2$$ получаем

$$x_3=\frac{13\pi}{6}.$$

При $$n=3$$ получаем

$$x_4=\frac{17\pi}{6}.$$

Чтобы промежуток содержал не менее четырёх корней, его правая граница должна быть не меньше четвёртого корня:

$$a\ge \frac{17\pi}{6}.$$

Ответ

$$a\in\left[\frac{17\pi}{6};+\infty\right).$$