Упр.29.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(3?/vx)=-v3/2; 2) cos(? sin(x))=0.

1) $$\sin\frac{3\pi}{\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Обозначим $$t=\frac{3\pi}{\sqrt{x}}.$$ Тогда

$$\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$t=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Подставим $$t=\frac{3\pi}{\sqrt{x}}$$:

$$\frac{3\pi}{\sqrt{x}}=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{\sqrt{x}}=\frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

Сократим на $$\pi$$:

$$\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{4}{3}+2n \quad \text{или} \quad \frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{5}{3}+2n.$$

Удобно записать оба случая в виде

$$\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{(-1)^{n+1}}{3}+n,\quad n\in\mathbb{N}.$$

Тогда

$$\sqrt{x}=\frac{9}{3n+(-1)^{n+1}},$$

и, следовательно,

$$x=\frac{81}{\left(3n+(-1)^{n+1}\right)^2},\quad n\in\mathbb{N}.$$

2) $$\cos(\pi\sin x)=0.$$

Косинус равен нулю, когда

$$\pi\sin x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Делим на $$\pi$$:

$$\sin x=\frac12+n.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ подходит только $$n=0$$. Тогда

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{81}{\left(3n+(-1)^{n+1}\right)^2},\ n\in\mathbb{N};$$ 2) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ или $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$