Упр.29.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2/x)=0; 2) sin(?vx)=-1; 3) sin(cos(x))=0,5.

1) $$\sin\frac{2}{x}=0.$$

Синус равен нулю, когда

$$\frac{2}{x}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{2}{\pi n},\quad n\in\mathbb Z\setminus\{0\}.$$

2) $$\sin(\pi\sqrt{x})=-1.$$

Синус равен $-1$, когда

$$\pi\sqrt{x}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x}=-\frac12+2n,\quad n\in\mathbb N.$$

Следовательно,

$$x=\left(2n-\frac12\right)^2,\quad n\in\mathbb N.$$

3) $$\sin(\cos x)=\frac12.$$

Синус равен $\frac12$, если

$$\cos x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

но здесь аргумент синуса — число $\cos x$, а значит нужно решить

$$\cos x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Однако значения $\cos x$ лежат в промежутке $$[-1;1],$$ поэтому подходит только

$$\cos x=\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm\arccos\frac12+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{2}{\pi n},\ n\in\mathbb Z\setminus\{0\};$$ 2) $$x=\left(2n-\frac12\right)^2,\ n\in\mathbb N;$$ 3) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$