Упр.29.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(x)-v3cos(x)=1;
2) sin(x)+cos(x)=v2.

1) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$$

Умножим уравнение на $$2$$:

$$2\sin x-2\sqrt{3}\cos x=2$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$2\left(\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=1$$

Так как $$\cos \frac{\pi}{3}=\frac12$$, $$\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$$, то

$$\cos \frac{\pi}{3}\sin x-\sin \frac{\pi}{3}\cos x=\frac12$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Это можно записать так:

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\sin x+\cos x=\sqrt2$$

Умножим на $$\sqrt2$$:

$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2$$

Так как $$\cos \frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$, получаем:

$$\cos \frac{\pi}{4}\sin x+\sin \frac{\pi}{4}\cos x=1$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;

2) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.