Упр.28.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2?/x)=1; 2) cos(?vx)=-v3/2; 3) cos(cos(x))=1/2.

1. $$\cos\frac{2\pi}{x}=1.$$

   Значение косинуса равно $$1$$ тогда и только тогда, когда

   $$\frac{2\pi}{x}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{1}{x}=n,\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0,$$

   откуда

   $$x=\frac{1}{n},\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

2. $$\cos(\pi\sqrt{x})=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Косинус равен $$-\frac{\sqrt3}{2}$$ при

   $$\pi\sqrt{x}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на $$\pi$$:

   $$\sqrt{x}=\pm\frac56+2n.$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ получаем два семейства решений:

   $$\sqrt{x}=\frac56+2k,\quad k\in\mathbb N\cup\{0\},$$

   $$\sqrt{x}=-\frac56+2n,\quad n\in\mathbb N.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x=\left(\frac56+2k\right)^2,\quad k\in\mathbb N\cup\{0\},$$

   $$x=\left(-\frac56+2n\right)^2,\quad n\in\mathbb N.$$

3. $$\cos(\cos x)=\frac12.$$

   Тогда

   $$\cos x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Но $$\cos x\in[-1;1],$$ а числа $$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ не принадлежат этому промежутку ни при каком целом $$n$$. Следовательно, решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{n},\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

2) $$x=\left(\frac56+2k\right)^2,\ k\in\mathbb N\cup\{0\};\quad x=\left(-\frac56+2n\right)^2,\ n\in\mathbb N.$$

3) Решений нет.