Упр.28.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.8. Найдите все корни уравнения cos(x+?/12)=-1/2, удовлетворяющие неравенству -?/6 < x < 4?.

Решим уравнение

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{12}\right)=-\frac12,$$

при условии

$$-\frac{\pi}{6}<x<4\pi.$$

Для косинуса получаем:

$$x+\frac{\pi}{12}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Найдём оба семейства корней.

1)

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}+2\pi n=\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

Из условия:

$$-\frac{\pi}{6}<\frac{7\pi}{12}+2\pi n<4\pi.$$

Умножим на $$12$$:

$$-2<7+24n<48.$$

Отсюда

$$-9<24n<41,$$

$$-\frac{3}{8}<n<\frac{41}{24}.$$

Значит, $$n=0,1$$, и получаем

$$x=\frac{7\pi}{12},\ \frac{31\pi}{12}.$$

2)

$$x=-\frac{\pi}{12}-\frac{2\pi}{3}+2\pi n=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Из условия:

$$-\frac{\pi}{6}<-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<4\pi.$$

Умножим на $$12$$:

$$-2<-9+24n<48.$$

Отсюда

$$7<24n<57,$$

$$\frac{7}{24}<n<\frac{19}{8}.$$

Значит, $$n=1,2$$, и получаем

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

Все корни, удовлетворяющие неравенству:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{31\pi}{12}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{12},\ \frac{9\pi}{4},\ \frac{31\pi}{12}.$$