Упр.28.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.7. Сколько корней уравнения cos(3x)=v3/2 принадлежат промежутку [-?/2; ?]?

Решим уравнение:

$$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$3x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

1) Для корней вида $$x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}:$$

$$-\frac{\pi}{2}\le -\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le \pi.$$

Умножим на $$\frac{18}{\pi}$$:

$$-9\le -1+12n\le 18,$$

$$-8\le 12n\le 19,$$

$$-\frac{2}{3}\le n\le \frac{19}{12}.$$

Значит, $$n=0,1.$$

2) Для корней вида $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}:$$

$$-\frac{\pi}{2}\le \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le \pi.$$

Умножим на $$\frac{18}{\pi}$$:

$$-9\le 1+12n\le 18,$$

$$-10\le 12n\le 17,$$

$$-\frac{5}{6}\le n\le \frac{17}{12}.$$

Значит, $$n=0,1.$$

Получаем 4 корня.

Ответ

4 корня.