Упр.28.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(x+?/6)=v2/2;
2) cos(x/6-2)=-1;
3) 2cos(?/8-3x)+1=0.

1) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значение косинуса равно $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при

$$x+\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\cos\left(\frac{x}{6}-2\right)=-1.$$

Косинус равен $$-1$$, когда

$$\frac{x}{6}-2=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$\frac{x}{6}=\pi+2+2\pi n,$$

$$x=6\pi+12+12\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3) $$2\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)+1=0.$$

Перенесём единицу:

$$2\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)=-1,$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)=-\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{8}-3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{8}\mp \frac{2\pi}{3}-2\pi n.$$

Получаем

$$x=\frac{\pi}{24}\mp \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

То есть

$$x=-\frac{13\pi}{72}+\frac{2\pi n}{3}\quad \text{или} \quad x=\frac{19\pi}{72}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n$$ или $$x=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n,$$ $$n\in \mathbb{Z}$$;

2) $$x=6\pi+12+12\pi n,$$ $$n\in \mathbb{Z}$$;

3) $$x=-\frac{13\pi}{72}+\frac{2\pi n}{3}$$ или $$x=\frac{19\pi}{72}+\frac{2\pi n}{3},$$ $$n\in \mathbb{Z}$$.