Упр.28.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(3x)=-1/2; 3) cos(6x)=1; 5) cos(9x)=-1/5;
2) cos(5/6 x)=v3/2; 4) cos(2?x/3)=0; 6) cos(-x/3)=v3/3.

1. $$\cos 3x=-\frac12$$
   
   Для косинуса:
   $$3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$
2. $$\cos \frac{5x}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$$
   
   Тогда
   $$\frac{5x}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Умножим на $$\frac{6}{5}$$:
   $$x=\pm \frac{\pi}{5}+\frac{12\pi n}{5}.$$
3. $$\cos 6x=1$$
   
   Значит,
   $$6x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi n}{3}.$$
4. $$\cos \frac{2\pi x}{3}=0$$
   
   Для нуля косинуса:
   $$\frac{2\pi x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Тогда
   $$x=\frac34+\frac32 n.$$
5. $$\cos 9x=-\frac15$$
   
   Тогда
   $$9x=\pm \arccos\!\left(-\frac15\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Так как
   $$\arccos\!\left(-\frac15\right)=\pi-\arccos\!\left(\frac15\right),$$
   получаем
   $$x=\pm \frac19\left(\pi-\arccos\!\frac15\right)+\frac{2\pi n}{9}.$$
6. $$\cos\!\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}$$
   
   Так как косинус — чётная функция, то
   $$\cos \frac{x}{3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$
   Следовательно,
   $$\frac{x}{3}=\pm \arccos\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Умножаем на 3:
   $$x=\pm 3\arccos\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)+6\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{5}+\frac{12\pi n}{5}$$

3) $$x=\frac{\pi n}{3}$$

4) $$x=\frac34+\frac32 n$$

5) $$x=\pm \frac19\left(\pi-\arccos\!\frac15\right)+\frac{2\pi n}{9}$$

6) $$x=\pm 3\arccos\!\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$