Упр.28.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 3) $$\cos(x)=\frac{\sqrt{5}}{2}$$; 2) $$\cos(x)=-\frac{1}{2}$$; 4) $$\cos(x)=\frac{4}{7}$$.

Для уравнения вида $$\cos x=a$$ решения существуют только при $$|a|\le 1.$$

1. $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Так как $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6},$$ то

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x=-\frac12$$

   Так как $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos x=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

   Но $$\frac{\sqrt{5}}{2}>1,$$ а значит, такое уравнение не имеет решений.

4. $$\cos x=\frac47$$

   Так как $$\left|\frac47\right|<1,$$ то

   $$x=\pm \arccos \frac47+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 2) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ 3) решений нет; 4) $$x=\pm \arccos \frac47+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$