Упр.28.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.18. При каких значениях параметра a уравнение (x+a)(cos(x)-v2/2)=0 имеет единственный корень на промежутке [-?/2; 0]?

Рассмотрим уравнение

$$ (x+a)\left(\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0. $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$ x+a=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}. $$

Из второго уравнения получаем

$$ x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}. $$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ подходит только корень

$$ x=-\frac{\pi}{4}. $$

Первый множитель даёт корень

$$ x=-a. $$

Чтобы уравнение имело единственный корень на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right],$$ нужно, чтобы:

1) корень $$x=-a$$ не принадлежал этому промежутку;

2) корень $$x=-\frac{\pi}{4}$$ принадлежал ему.

Второе условие выполнено автоматически, а первое означает:

$$ -a<-\frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad -a>0. $$

Отсюда

$$ a>\frac{\pi}{2} \quad \text{или} \quad a<0. $$

При $$a=\frac{\pi}{2}$$ или $$a=0$$ на промежутке появится второй корень, поэтому эти значения не подходят.

Ответ

$$ a<0,\quad a>\frac{\pi}{2}. $$