Упр.28.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.17. При каких значениях параметра а уравнение (x-a)(cos(x)+v3/2)=0 имеет единственный корень на промежутке [?; 3?/2]?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ (x-a)\left(\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\right)=0. $$

Оно равносильно системе двух случаев:

$$ x-a=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\frac{\sqrt3}{2}=0. $$

Из первого случая получаем корень

$$ x=a. $$

Из второго случая:

$$ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}. $$

На промежутке $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ это даёт единственное значение

$$ x=\frac{7\pi}{6}. $$

Чтобы уравнение имело единственный корень на данном промежутке, нужно, чтобы корень $$x=a$$ либо не попадал в этот промежуток, либо совпадал с корнем $$\frac{7\pi}{6}$$.

Значит, возможны три случая:

$$a<\pi$$ — тогда корень $$x=a$$ не принадлежит промежутку, и остаётся только $$x=\frac{7\pi}{6}$$;
$$a>\frac{3\pi}{2}$$ — тогда корень $$x=a$$ тоже не принадлежит промежутку, и снова остаётся только $$x=\frac{7\pi}{6}$$;
$$a=\frac{7\pi}{6}$$ — тогда оба множителя обращаются в нуль при одном и том же значении $$x=\frac{7\pi}{6}$$, и корень остаётся единственным.