Упр.28.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.16. Определите количество корней уравнения cos(x)=a на промежутке [-?/2; 3?/4] в зависимости от значения параметра a.

Рассмотрим функцию $$y=\cos x$$ на промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right].$$

На этом промежутке:

• при $$x=-\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$$;
• при $$x=0$$ имеем $$\cos 0=1$$;
• при $$x=\frac{3\pi}{4}$$ имеем $$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значит, на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция $$\cos x$$ принимает значения от $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ до $$1$$.

Теперь определим число пересечений графика $$y=\cos x$$ с прямой $$y=a$$:

• если $$a<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ или $$a>1,$$ то пересечений нет;
• если $$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ или $$a=1,$$ то пересечение одно;
• если $$-\frac{\sqrt{2}}{2}<a<0,$$ то пересечений два;
• если $$0\le a<1,$$ то также пересечений два.

Объединяя случаи, получаем:

• при $$a<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ или $$a>1$$ корней нет;
• при $$a\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)\cup\{1\}$$ один корень;
• при $$0\le a<1$$ два корня.

Ответ

$$ \begin{cases} 0, & a<-\frac{\sqrt{2}}{2}\ \text{или}\ a>1,\\ 1, & a\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)\cup\{1\},\\ 2, & 0\le a<1. \end{cases} $$