Упр.28.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.15. Определите количество корней уравнения cos(x)=a на промежутке (-?/4; 11?/6] в зависимости от значения параметра a.

Рассмотрим уравнение $$\cos x=a$$ на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{11\pi}{6}\right].$$

Найдём значения функции на концах промежутка:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$

$$\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{4};0\right]$$ функция $$\cos x$$ возрастает от $$\frac{\sqrt2}{2}$$ до $$1$$, а на промежутке $$\left[0;\frac{11\pi}{6}\right]$$ принимает значения от $$1$$ до $$\frac{\sqrt3}{2}$$, затем снова от $$\frac{\sqrt3}{2}$$ до $$-1$$ и далее возрастает до $$\frac{\sqrt3}{2}$$. Поэтому число пересечений графика с прямой $$y=a$$ зависит от значения $$a$$ так:

• если $$a<-1$$ или $$a>1,$$ корней нет;
• если $$a=-1$$ или $$a=1,$$ один корень;
• если $$a\in\left(-1;\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right),$$ два корня;
• если $$a\in\left[\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right],$$ три корня.

Ответ

$$ \begin{cases} a<-1 \text{ или } a>1, & \text{корней нет};\\ a=-1 \text{ или } a=1, & \text{один корень};\\ a\in\left(-1;\frac{\sqrt2}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2};1\right), & \text{два корня};\\ a\in\left[\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt3}{2}\right], & \text{три корня}. \end{cases} $$