Упр.28.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 28.11. При каких значениях параметра a имеет решения уравнение cos(2x)=-4a^2+4a-2?

Чтобы уравнение

$$\cos 2x=-4a^2+4a-2$$

имело решения, правая часть должна принимать значения функции косинуса, то есть

$$-1\le -4a^2+4a-2\le 1.$$

Решим систему неравенств.

1) $$-4a^2+4a-2\ge -1$$

$$-4a^2+4a-1\ge 0$$

$$4a^2-4a+1\le 0$$

$$\left(2a-1\right)^2\le 0.$$

Квадрат неотрицательного выражения не превосходит нуля только при

$$2a-1=0,\quad a=\frac12.$$

2) $$-4a^2+4a-2\le 1$$

$$4a^2-4a+3\ge 0.$$

Для этого квадратного трёхчлена

$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 3=16-48=-32<0,$$

а старший коэффициент положителен, значит, неравенство выполняется при всех $a$.

Следовательно, остаётся только значение

$$a=\frac12.$$

Ответ

$$a=\frac12$$