Упр.28.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2?/vx)=v2/2; 2) cos(cos(x))=v2/2.

1) $$\cos\frac{2\pi}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Значение $$\frac{\sqrt2}{2}$$ достигается при

$$\frac{2\pi}{\sqrt{x}}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Разделим на $$\pi$$:

$$\frac{2}{\sqrt{x}}=\pm\frac14+2n.$$

Удобно записать так:

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=\pm\frac18+n.$$

Тогда

$$\sqrt{x}=\frac{8}{8n\pm1},\qquad x=\frac{64}{(8n\pm1)^2}.$$

Так как $$\sqrt{x}>0$$, получаем два семейства решений:

$$x=\frac{64}{(8k+1)^2},\quad k\in\mathbb N\cup\{0\};$$

$$x=\frac{64}{(8n-1)^2},\quad n\in\mathbb N.$$

2) $$\cos(\cos x)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$\cos t=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$t=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но с учётом $$t\in[-1;1]$$ подходит только

$$t=\frac{\pi}{4}.$$

Значит,

$$\cos x=\frac{\pi}{4}.$$

Тогда

$$x=\pm\arccos\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{64}{(8k+1)^2},\ k\in\mathbb N\cup\{0\};\quad x=\frac{64}{(8n-1)^2},\ n\in\mathbb N.$$

2) $$x=\pm\arccos\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$