Упр.28.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(x)=1/2; 3) cos(x)=-v3/2; 5) cos(x)=?/3;
2) cos(x)=v2/2; 4) cos(x)=1/3; 6) cos(x)=?/4.

1. $$\cos x=\frac12$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Так как $$\arccos \frac12=\frac{\pi}{3},$$ получаем

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Так как $$\arccos \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ получаем

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

3. $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Поскольку $$\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},$$ имеем

   $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$\cos x=\frac13$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ а $$\frac13\in[-1;1],$$ уравнение имеет решения:

   $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

5. $$\cos x=\frac{\pi}{3}$$

   Но $$\frac{\pi}{3}>1,$$ а для косинуса всегда $$|\cos x|\le 1.$$

   Следовательно, решений нет.

6. $$\cos x=\frac{\pi}{4}$$

   Так как $$0<\frac{\pi}{4}<1,$$ уравнение имеет решения:

   $$x=\pm \arccos \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
3) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
4) $$x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
5) решений нет;
6) $$x=\pm \arccos \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$