Упр.27.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$\operatorname{ctg}(6\alpha)-\operatorname{ctg}(4\alpha)+\operatorname{tg}(2\alpha)=-\operatorname{ctg}(6\alpha)\operatorname{ctg}(4\alpha)\operatorname{tg}(2\alpha);$$
2) $$\frac{1}{\operatorname{tg}(3\alpha)+\operatorname{tg}(\alpha)}-\frac{1}{\operatorname{ctg}(3\alpha)+\operatorname{ctg}(\alpha)}=\operatorname{ctg}(4\alpha);$$
3) $$\operatorname{tg}(\alpha)+\operatorname{ctg}(\alpha)+\operatorname{tg}(3\alpha)+\operatorname{ctg}(3\alpha)=\frac{8\cos^2(2\alpha)}{\sin(6\alpha)}.$$
1) Преобразуем левую часть:
$$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha+\tg 2\alpha = \frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha}-\frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}+\tg 2\alpha.$$
Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
$$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha = \frac{\cos 6\alpha\sin 4\alpha-\cos 4\alpha\sin 6\alpha}{\sin 6\alpha\sin 4\alpha} = \frac{\sin(4\alpha-6\alpha)}{\sin 6\alpha\sin 4\alpha} = -\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha\sin 4\alpha}.$$
Тогда
$$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha+\tg 2\alpha = -\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha\sin 4\alpha}+\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$$
$$= -\tg 2\alpha\left(\frac{1}{\sin 4\alpha\sin 6\alpha}-\frac{1}{\cos 2\alpha}\right).$$
Используем формулу $$\cos 2\alpha-\cos 10\alpha=2\sin 6\alpha\sin 4\alpha$$:
$$-\tg 2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha-\cos 10\alpha}{\sin 4\alpha\sin 6\alpha\cos 2\alpha} = -\tg 2\alpha\cdot \frac{2\cos 6\alpha\cos 4\alpha}{2\sin 4\alpha\sin 6\alpha} = -\tg 2\alpha\ctg 6\alpha\ctg 4\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
2) Рассмотрим левую часть:
$$\frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\ctg 3\alpha+\ctg \alpha}.$$
Преобразуем каждую дробь:
$$\frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha} = \frac{\cos 3\alpha\cos \alpha}{\sin 4\alpha}, \qquad \frac{1}{\ctg 3\alpha+\ctg \alpha} = \frac{\sin 3\alpha\sin \alpha}{\sin 4\alpha}.$$
Тогда
$$\frac{\cos 3\alpha\cos \alpha-\sin 3\alpha\sin \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos(3\alpha+\alpha)}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \ctg 4\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
3) Преобразуем левую часть:
$$\tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} +\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}+\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\tg \alpha+\ctg \alpha = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin \alpha\cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha\cos \alpha},$$
$$\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha = \frac{1}{\sin 3\alpha\cos 3\alpha}.$$
Тогда
$$\tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha = \frac{1}{\sin \alpha\cos \alpha}+\frac{1}{\sin 3\alpha\cos 3\alpha} = \frac{\sin 3\alpha\cos 3\alpha+\sin \alpha\cos \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha\sin 3\alpha\cos 3\alpha}.$$
Используем формулы:
$$\sin 3\alpha\cos 3\alpha+\sin \alpha\cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 6\alpha+\frac{1}{2}\sin 2\alpha = \sin 4\alpha\cos 2\alpha,$$
а также
$$\sin \alpha\cos \alpha\sin 3\alpha\cos 3\alpha = \frac{1}{4}\sin 2\alpha\sin 6\alpha.$$
Следовательно,
$$\tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha = \frac{\sin 4\alpha\cos 2\alpha}{\frac14\sin 2\alpha\sin 6\alpha} = \frac{4\sin 4\alpha\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha\sin 6\alpha}.$$
Так как $$\sin 4\alpha=2\sin 2\alpha\cos 2\alpha$$, получаем
$$\frac{4\sin 4\alpha\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha\sin 6\alpha} = \frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
1) $$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha+\tg 2\alpha=-\ctg 6\alpha\ctg 4\alpha\tg 2\alpha$$;
2) $$\frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\ctg 3\alpha+\ctg \alpha}=\ctg 4\alpha$$;
3) $$\tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha=\frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}$$.
