Упр.27.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ctg(6?)-ctg(4?)+tg(2?)=-ctg(6?)ctg(4?)tg(2?);
2) 1/(tg(3?)+tg(?))-1/(ctg(3?)+ctg(?))=ctg(4?);
3) tg(?)+ctg(?)+tg(3?)+ctg(3?)=8cos^2(2?)/sin(6?).

1. $$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha+\tg 2\alpha =-\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha}+\tg 2\alpha.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$-\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha}+\tg 2\alpha =-\sin 2\alpha\left(\frac{1}{\sin 4\alpha \sin 6\alpha}-\frac{1}{\cos 2\alpha}\right).$$

   Далее:
   $$ -\sin 2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha-\sin 4\alpha \sin 6\alpha}{\sin 4\alpha \sin 6\alpha \cos 2\alpha} =-\tg 2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha-\sin 4\alpha \sin 6\alpha}{\sin 4\alpha \sin 6\alpha}. $$

   Используем формулу
   $$\sin 4\alpha \sin 6\alpha=\frac{\cos 2\alpha-\cos 10\alpha}{2},$$
   тогда
   $$ \cos 2\alpha-\sin 4\alpha \sin 6\alpha =\cos 2\alpha-\frac{1}{2}(\cos 2\alpha-\cos 10\alpha) =\frac{\cos 2\alpha+\cos 10\alpha}{2}. $$

   Следовательно,
   $$ -\tg 2\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha+\cos 10\alpha}{2\sin 4\alpha \sin 6\alpha} =-\tg 2\alpha\cdot \frac{2\cos 6\alpha \cos 4\alpha}{2\sin 4\alpha \sin 6\alpha} =-\tg 2\alpha \ctg 6\alpha \ctg 4\alpha. $$

2. $$ \frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\ctg 3\alpha+\ctg \alpha} =\frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha}-\frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha}. $$

   Тогда
   $$ \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha-\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} =\frac{\cos(3\alpha+\alpha)}{\sin 4\alpha} =\frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} =\ctg 4\alpha. $$

3. $$ \tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha =\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} +\frac{\sin 4\alpha}{\sin 3\alpha \cos 3\alpha}. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{\sin 4\alpha(\sin \alpha \sin 3\alpha+\cos \alpha \cos 3\alpha)} {\sin \alpha \cos \alpha \sin 3\alpha \cos 3\alpha}. $$

   Так как
   $$\sin \alpha \sin 3\alpha+\cos \alpha \cos 3\alpha=\cos 2\alpha,$$
   а
   $$\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2}\sin 2\alpha,\qquad \sin 3\alpha \cos 3\alpha=\frac{1}{2}\sin 6\alpha,$$
   то
   $$ \tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha =\sin 4\alpha\cdot \frac{\cos 2\alpha}{\frac14 \sin 2\alpha \sin 6\alpha}. $$

   Далее
   $$ \sin 4\alpha=2\sin 2\alpha \cos 2\alpha, $$
   поэтому
   $$ 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot \frac{4\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} =\frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}. $$

Ответ

$$\ctg 6\alpha-\ctg 4\alpha+\tg 2\alpha=-\ctg 6\alpha\ctg 4\alpha\tg 2\alpha;$$
$$\frac{1}{\tg 3\alpha+\tg \alpha}-\frac{1}{\ctg 3\alpha+\ctg \alpha}=\ctg 4\alpha;$$
$$\tg \alpha+\ctg \alpha+\tg 3\alpha+\ctg 3\alpha=\frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}.$$