Упр.27.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?)+sin(3?)-sin(2?)=4sin(?/2)cos(3?/2);
2) sin^2(?)-sin^2(?)=sin(?+?)sin(?-?);
3) (cos(?)-cos(2?)-cos(4?)+cos(5?))/(sin(?)-sin(2?)-sin(4?)+sin(5?))=ctg(3?);
4) (sin(?)+sin(?))^2+(cos(?)+cos(?))^2=4cos^2((?-?)/2);
5) (sin(4?)/sin(?)-cos(4?)/cos(?))(1/sin(3?)+1/sin(?))=4ctg(?).

1. $$\sin \alpha+\sin 3\alpha-\sin 2\alpha=4\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{3\alpha}{2}.$$
   Используем формулу суммы синусов:
   $$\sin \alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha \cos \alpha.$$
   Тогда
   $$2\sin 2\alpha \cos \alpha-\sin 2\alpha=\sin 2\alpha(2\cos \alpha-1).$$
   Удобнее преобразовать правую часть через формулу
   $$\sin 3\alpha-\sin \alpha=2\cos 2\alpha \sin \alpha,$$
   поэтому
   $$\sin \alpha+\sin 3\alpha-\sin 2\alpha =(\sin 3\alpha-\sin 2\alpha)+\sin \alpha.$$
   Применим формулу
   $$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}:$$
   $$\sin 3\alpha-\sin 2\alpha=2\cos \frac{5\alpha}{2}\sin \frac{\alpha}{2}.$$
   Тогда
   $$\sin \alpha+\sin 3\alpha-\sin 2\alpha =2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{3\alpha}{2}.$$
   Следовательно,
   $$\sin \alpha+\sin 3\alpha-\sin 2\alpha=4\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{3\alpha}{2}.$$

2. $$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta).$$
   Используем формулу разности квадратов:
   $$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=(\sin \alpha-\sin \beta)(\sin \alpha+\sin \beta).$$
   По формулам суммы и разности синусов:
   $$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2},$$
   $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
   Тогда
   $$ \sin^2 \alpha-\sin^2 \beta =4\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}. $$
   Снова применяем формулу
   $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$
   получаем
   $$ \sin^2 \alpha-\sin^2 \beta =\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta). $$

3. $$ \frac{\cos \alpha-\cos 2\alpha-\cos 4\alpha+\cos 5\alpha}{\sin \alpha-\sin 2\alpha-\sin 4\alpha+\sin 5\alpha} =\ctg 3\alpha. $$
   Преобразуем числитель и знаменатель по группам:
   $$ \cos \alpha-\cos 2\alpha-\cos 4\alpha+\cos 5\alpha =(\cos \alpha-\cos 2\alpha)-(\cos 4\alpha-\cos 5\alpha), $$
   $$ \sin \alpha-\sin 2\alpha-\sin 4\alpha+\sin 5\alpha =(\sin \alpha-\sin 2\alpha)-(\sin 4\alpha-\sin 5\alpha). $$
   Используем формулы:
   $$ \cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}, $$
   $$ \sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}. $$
   Тогда
   $$ \cos \alpha-\cos 2\alpha-\cos 4\alpha+\cos 5\alpha =2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha-\cos \alpha), $$
   $$ \sin \alpha-\sin 2\alpha-\sin 4\alpha+\sin 5\alpha =2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha-\cos \alpha). $$
   Следовательно,
   $$ \frac{\cos \alpha-\cos 2\alpha-\cos 4\alpha+\cos 5\alpha}{\sin \alpha-\sin 2\alpha-\sin 4\alpha+\sin 5\alpha} =\frac{2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha-\cos \alpha)}{2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha-\cos \alpha)} =\ctg 3\alpha. $$

4. $$ (\sin \alpha+\sin \beta)^2+(\cos \alpha+\cos \beta)^2=4\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}. $$
   Преобразуем каждую скобку:
   $$ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}, $$
   $$ \cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}. $$
   Тогда
   $$ (\sin \alpha+\sin \beta)^2+(\cos \alpha+\cos \beta)^2 =4\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \left(\sin^2 \frac{\alpha+\beta}{2}+\cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}\right). $$
   Так как
   $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$
   получаем
   $$ (\sin \alpha+\sin \beta)^2+(\cos \alpha+\cos \beta)^2 =4\cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

5. $$ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}-\frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha}\right) \left(\frac{1}{\sin 3\alpha}+\frac{1}{\sin \alpha}\right)=4\ctg \alpha. $$
   Преобразуем первую скобку:
   $$ \frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}-\frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha} =\frac{\sin 4\alpha \cos \alpha-\cos 4\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} =\frac{\sin(4\alpha-\alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} =\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$
   Вторую скобку приводим к общему знаменателю:
   $$ \frac{1}{\sin 3\alpha}+\frac{1}{\sin \alpha} =\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\sin \alpha \sin 3\alpha}. $$
   По формуле суммы синусов:
   $$ \sin \alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha \cos \alpha. $$
   Тогда
   $$ \left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}-\frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha}\right) \left(\frac{1}{\sin 3\alpha}+\frac{1}{\sin \alpha}\right) = \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\cdot \frac{2\sin 2\alpha \cos \alpha}{\sin \alpha \sin 3\alpha}. $$
   Сокращаем:
   $$ =\frac{2\sin 2\alpha}{\sin^2 \alpha} =\frac{4\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} =4\ctg \alpha. $$

Ответ

1) $$\sin \alpha+\sin 3\alpha-\sin 2\alpha=4\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{3\alpha}{2}$$

2) $$\sin^2 \alpha-\sin^2 \beta=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$$

3) $$\dfrac{\cos \alpha-\cos 2\alpha-\cos 4\alpha+\cos 5\alpha}{\sin \alpha-\sin 2\alpha-\sin 4\alpha+\sin 5\alpha}=\ctg 3\alpha$$

4) $$\left(\sin \alpha+\sin \beta\right)^2+\left(\cos \alpha+\cos \beta\right)^2=4\cos^2 \dfrac{\alpha-\beta}{2}$$

5) $$\left(\dfrac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}-\dfrac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha}\right)\left(\dfrac{1}{\sin 3\alpha}+\dfrac{1}{\sin \alpha}\right)=4\ctg \alpha$$