Упр.27.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos^2(?)-cos^2(?)=sin(?+?)sin(?-?);
2) (sin(?)+sin(3?)+sin(5?)+sin(7?))/(cos(?)+cos(3?)+cos(5?)+cos(7?))=tg(4?);
3) (1+cos(?)+cos(2?)+cos(3?))/(cos(?)+2cos^2(?)-1)=2cos(?);
4) ((sin(?)-cos(?))^2-1+sin(4?))/(cos(2?)+cos(4?))=tg(?);
5) (cos(?)-cos(3?))(sin(?)+sin(3?))/(1-cos(4?))=sin(2?).

Подробный ответ

$$\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)=\frac12\bigl(\cos 2\alpha-\cos 2\beta\bigr).$$
По формуле $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ получаем:
$$\frac12\bigl(\cos 2\alpha-\cos 2\beta\bigr)=\frac12\bigl((2\cos^2\alpha-1)-(2\cos^2\beta-1)\bigr)=\cos^2\alpha-\cos^2\beta.$$
Что и требовалось доказать.
$$\frac{\sin\alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha+\sin 7\alpha}{\cos\alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha+\cos 7\alpha}$$
Сгруппируем слагаемые:
$$ \sin\alpha+\sin 7\alpha=2\sin 4\alpha\cos 3\alpha,\qquad \sin 3\alpha+\sin 5\alpha=2\sin 4\alpha\cos\alpha, $$
$$ \cos\alpha+\cos 7\alpha=2\cos 4\alpha\cos 3\alpha,\qquad \cos 3\alpha+\cos 5\alpha=2\cos 4\alpha\cos\alpha. $$
Тогда
$$ \frac{2\sin 4\alpha\cos 3\alpha+2\sin 4\alpha\cos\alpha}{2\cos 4\alpha\cos 3\alpha+2\cos 4\alpha\cos\alpha} = \frac{2\sin 4\alpha(\cos 3\alpha+\cos\alpha)}{2\cos 4\alpha(\cos 3\alpha+\cos\alpha)} =\tg 4\alpha. $$
Что и требовалось доказать.
$$\frac{1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1}$$
Так как $$2\cos^2\alpha-1=\cos 2\alpha,$$ то знаменатель равен $$\cos\alpha+\cos 2\alpha.$$ Тогда
$$ \frac{1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}{\cos\alpha+\cos 2\alpha} = \frac{(1+\cos 3\alpha)+(\cos\alpha+\cos 2\alpha)}{\cos\alpha+\cos 2\alpha}. $$
Используем формулы:
$$ 1+\cos 3\alpha=2\cos^2\frac{3\alpha}{2},\qquad \cos\alpha+\cos 2\alpha=2\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}, $$
но удобнее преобразовать так:
$$ 1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha =(1+\cos 3\alpha)+(\cos\alpha+\cos 2\alpha) $$
$$ =2\cos\alpha(\cos\alpha+\cos 2\alpha). $$
Следовательно,
$$ \frac{1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1} = \frac{2\cos\alpha(\cos\alpha+\cos 2\alpha)}{\cos\alpha+\cos 2\alpha} =2\cos\alpha. $$
Что и требовалось доказать.
$$\frac{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2-1+\sin 4\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 4\alpha}$$
Раскроем квадрат:
$$ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\sin 2\alpha. $$
Тогда числитель:
$$ (1-\sin 2\alpha)-1+\sin 4\alpha=\sin 4\alpha-\sin 2\alpha. $$
По формулам приведения:
$$ \sin 4\alpha-\sin 2\alpha=2\cos 3\alpha\sin\alpha, $$
$$ \cos 2\alpha+\cos 4\alpha=2\cos 3\alpha\cos\alpha. $$
Поэтому
$$ \frac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 4\alpha} = \frac{2\cos 3\alpha\sin\alpha}{2\cos 3\alpha\cos\alpha} =\tg\alpha. $$
Что и требовалось доказать.
$$\frac{(\cos\alpha-\cos 3\alpha)(\sin\alpha+\sin 3\alpha)}{1-\cos 4\alpha}$$
Применим формулы:
$$ \cos\alpha-\cos 3\alpha=2\sin 2\alpha\sin\alpha, $$
$$ \sin\alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha\cos\alpha, $$
$$ 1-\cos 4\alpha=2\sin^2 2\alpha. $$
Тогда
$$ \frac{(2\sin 2\alpha\sin\alpha)(2\sin 2\alpha\cos\alpha)}{2\sin^2 2\alpha} = \frac{4\sin^2 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2 2\alpha} =2\sin\alpha\cos\alpha =\sin 2\alpha. $$
Что и требовалось доказать.