Упр.27.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
- Докажите тождество:
- $$\cos^2(?) — \cos^2(?) = \sin(?+?)\sin(?-?)$$
- $$\frac{\sin(?) + \sin(3?) + \sin(5?) + \sin(7?)}{\cos(?) + \cos(3?) + \cos(5?) + \cos(7?)} = \operatorname{tg}(4?)$$
- $$\frac{1+\cos(?) + \cos(2?) + \cos(3?)}{\cos(?) + 2\cos^2(?) — 1} = 2\cos(?)$$
- $$\frac{(\sin(?) — \cos(?))^2 — 1 + \sin(4?)}{\cos(2?) + \cos(4?)} = \operatorname{tg}(?)$$
- $$\frac{(\cos(?) — \cos(3?))(\sin(?) + \sin(3?))}{1-\cos(4?)} = \sin(2?)$$
1)
$$\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)=\frac12\bigl(\cos 2\alpha-\cos 2\beta\bigr)$$
$$=\frac{2\cos^2\alpha-1-2\cos^2\beta+1}{2} =\cos^2\alpha-\cos^2\beta.$$
Что и требовалось доказать.
2)
$$\frac{\sin\alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha+\sin 7\alpha} {\cos\alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha+\cos 7\alpha}$$
$$=\frac{2\sin 4\alpha\cos 3\alpha+2\sin 4\alpha\cos\alpha} {2\cos 4\alpha\cos 3\alpha+2\cos 4\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{\sin 4\alpha\,(\cos 3\alpha+\cos\alpha)} {\cos 4\alpha\,(\cos 3\alpha+\cos\alpha)} =\tg 4\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
3)
$$\frac{1+\cos\alpha+\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}{\cos\alpha+2\cos^2\alpha-1} = \frac{1+\cos 2\alpha+\cos\alpha+\cos 3\alpha}{\cos\alpha+\cos 2\alpha}$$
$$=\frac{2\cos^2\alpha+2\cos 2\alpha\cos\alpha}{\cos\alpha+\cos 2\alpha} =\frac{2\cos\alpha\,(\cos\alpha+\cos 2\alpha)}{\cos\alpha+\cos 2\alpha} =2\cos\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
4)
$$\frac{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2-1+\sin 4\alpha}{\cos 2\alpha+\cos 4\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha-1+\sin 4\alpha} {2\cos 3\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{\sin 4\alpha-\sin 2\alpha}{2\cos 3\alpha\cos\alpha} =\frac{2\sin\alpha\cos 3\alpha}{2\cos 3\alpha\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\tg\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
5)
$$\frac{(\cos\alpha-\cos 3\alpha)(\sin\alpha+\sin 3\alpha)}{1-\cos 4\alpha} = \frac{(2\sin 2\alpha\sin\alpha)(2\sin 2\alpha\cos\alpha)}{2\sin^2 2\alpha}$$
$$=\frac{2\sin^2 2\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2 2\alpha} =\sin 2\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
