Упр.27.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 2sin(2?)sin(?)+cos(3?);
2) sin(?)-2sin(?/2-?/12)cos(?/2+?/12).

1. Используем формулу произведения в сумму:

   $$2\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha=\cos(\,2\alpha-\alpha\,)-\cos(\,2\alpha+\alpha\,)=\cos\alpha-\cos 3\alpha.$$

   Тогда

   $$2\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha+\cos 3\alpha=\cos\alpha-\cos 3\alpha+\cos 3\alpha=\cos\alpha.$$

2. Применим формулу

   $$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$

   Пусть

   $$x=\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}, \qquad y=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}.$$

   Тогда

   $$2\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=\sin\alpha+\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Следовательно,

   $$\sin\alpha-2\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{12}\right)=\sin\alpha-\sin\alpha-\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Ответ

1) $$\cos\alpha$$; 2) $$\frac12$$.