Упр.27.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?)(1+2cos(2?));
2) cos(2?)+2sin(?+30°)sin(?-30°).

1. $$\sin \alpha \left(1+2\cos 2\alpha\right)=\sin \alpha+2\sin \alpha \cos 2\alpha.$$

   По формуле $$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)$$ получаем:
   $$2\sin \alpha \cos 2\alpha=\sin 3\alpha+\sin(-\alpha).$$

   Тогда
   $$ \sin \alpha+2\sin \alpha \cos 2\alpha =\sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin(-\alpha) =\sin 3\alpha. $$

2. $$\cos 2\alpha+2\sin(\alpha+30^\circ)\sin(\alpha-30^\circ).$$

   Используем формулу
   $$2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y).$$
   Тогда
   $$ 2\sin(\alpha+30^\circ)\sin(\alpha-30^\circ) =\cos 60^\circ-\cos 2\alpha. $$

   Следовательно,
   $$ \cos 2\alpha+\cos 60^\circ-\cos 2\alpha=\cos 60^\circ=\frac12. $$

Ответ

1) $$\sin 3\alpha$$;
2) $$\frac12$$.