Упр.27.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 1-2cos(?); 3) 1-v2sin(?);
2) v3+2cos(?); 4) v3+ctg(?).

1. $$1-2\cos\alpha=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos\alpha\right)$$

   По формуле разности косинусов:
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

   получаем
   $$1-2\cos\alpha=4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$

2. $$\sqrt{3}+2\cos\alpha=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\right)$$

   По формуле суммы косинусов:
   $$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$

   получаем
   $$\sqrt{3}+2\cos\alpha=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right).$$

3. $$1-\sqrt{2}\sin\alpha=\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\right)$$

   По формуле разности синусов:
   $$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$

   получаем
   $$1-\sqrt{2}\sin\alpha=2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right).$$

4. $$\sqrt{3}+\operatorname{ctg}\alpha=\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}+\operatorname{ctg}\alpha$$

   Используем формулу:
   $$\operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}$$

   Тогда
   $$\sqrt{3}+\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha}=\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\alpha}.$$

Ответ

$$1)\;4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right);$$
$$2)\;4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right);$$
$$3)\;2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right);$$
$$4)\;\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\alpha}.$$