Упр.27.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Преобразуйте в произведение:

1. 1) $$1-2\cos(?)$$; 3) $$1-\sqrt{2}\sin(?)$$; 2) $$\sqrt{3}+2\cos(?)$$; 4) $$\sqrt{3}+\operatorname{ctg}(?)$$.

Используем формулы приведения и формулы суммы и разности тригонометрических функций.

1. $$1-2\cos\alpha=2\left(\cos\frac{\pi}{3}-\cos\alpha\right)$$
   $$=4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right).$$
2. $$\sqrt{3}+2\cos\alpha=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\right)$$
   $$=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right).$$
3. $$1-\sqrt{2}\sin\alpha=\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\right)$$
   $$=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right).$$
4. $$\sqrt{3}+\ctg\alpha=\ctg\frac{\pi}{6}+\ctg\alpha$$
   $$=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha}$$
   $$=\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\alpha}.$$

Ответ:

$$1-2\cos\alpha=4\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right);$$
$$\sqrt{3}+2\cos\alpha=4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right);$$
$$1-\sqrt{2}\sin\alpha=2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right);$$
$$\sqrt{3}+\ctg\alpha=\frac{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}{\sin\alpha}.$$