Упр.27.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.29. Докажите неравенство sin(?/2)sin(?/2)sin(?/2)?1/8, где ?+?+?=?.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда

$$ 8\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}-1 $$
$$ =4\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\frac{\gamma}{2}-1 $$
$$ =4\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)\right)\sin\frac{\gamma}{2}-1 $$
$$ =4\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\gamma}{2}\right)\sin\frac{\gamma}{2}-1 $$
$$ =4\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}-4\sin^2\frac{\gamma}{2}-1. $$

Так как $$1= \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2},$$ то

$$ 4\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}-4\sin^2\frac{\gamma}{2}-1 $$
$$ = -\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-2\sin\frac{\gamma}{2}\right)^2-\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2}\le 0. $$

Следовательно,

$$ 8\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}-1\le 0, $$
откуда

$$ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\le \frac18. $$

Ответ

$$ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\le \frac18. $$