Упр.27.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.28. Докажите неравенство cos(?)cos(?)cos(?)?1/8, где ?, ? и ? — углы треугольника.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi$$ — углы треугольника. Тогда

$$ 8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1 =4(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))\cos\gamma-1 $$
$$ =4(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\pi-\gamma))\cos\gamma-1 =4(\cos(\alpha-\beta)-\cos\gamma)\cos\gamma-1 $$
$$ =4\cos(\alpha-\beta)\cos\gamma-4\cos^2\gamma-1. $$

Добавим и вычтем $$\cos^2(\alpha-\beta)$$:

$$ 4\cos(\alpha-\beta)\cos\gamma-4\cos^2\gamma-1 = -\bigl(\cos(\alpha-\beta)-2\cos\gamma\bigr)^2-\sin^2(\alpha-\beta)\le 0. $$

Значит,

$$ 8\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1\le 0, $$
откуда

$$ \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\le \frac18. $$

Ответ

$$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\le \frac18.$$