Упр.27.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) S=cos(О±)+cos(2О±)+…+cos(nО±);
2) S=sin(О±)+sin(3О±)+…+sin((2n-1)О±);
3) S=sin^2(О±)+sin^2(2О±)+…+sin^2(nО±).

1. $$S=\cos\alpha+\cos2\alpha+\cdots+\cos n\alpha.$$
   Используем формулу
   $$2\sin\frac{\alpha}{2}\cos k\alpha=\sin\left(k+\frac12\right)\alpha-\sin\left(k-\frac12\right)\alpha.$$
   Тогда
   $$2\sin\frac{\alpha}{2}\,S=\sum_{k=1}^{n}\left(\sin\left(k+\frac12\right)\alpha-\sin\left(k-\frac12\right)\alpha\right).$$
   В сумме происходит сокращение, и получаем
   $$2\sin\frac{\alpha}{2}\,S=\sin\frac{(2n+1)\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}.$$
   По формуле разности синусов:
   $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$
   значит
   $$2\sin\frac{\alpha}{2}\,S=2\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}.$$
   Следовательно,
   $$S=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.$$
   Если $$\alpha=2\pi k,$$ то все слагаемые равны $$1,$$ поэтому
   $$S=n.$$

2. $$S=\sin\alpha+\sin3\alpha+\cdots+\sin(2n-1)\alpha.$$
   Используем формулу
   $$2\sin\alpha\sin(2m-1)\alpha=\cos(2m-2)\alpha-\cos2m\alpha.$$
   Тогда
   $$2\sin\alpha\,S=(\cos0-\cos2\alpha)+(\cos2\alpha-\cos4\alpha)+\cdots+(\cos(2n-2)\alpha-\cos2n\alpha).$$
   После сокращения:
   $$2\sin\alpha\,S=1-\cos2n\alpha.$$
   Значит,
   $$S=\frac{1-\cos2n\alpha}{2\sin\alpha}=\frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}.$$
   Если $$\alpha=\pi k,$$ то все слагаемые равны $$0,$$ поэтому
   $$S=0.$$

3. $$S=\sin^2\alpha+\sin^22\alpha+\cdots+\sin^2n\alpha.$$
   Преобразуем по формуле
   $$\sin^2 x=\frac{1-\cos2x}{2}:$$
   $$S=\frac{1-\cos2\alpha}{2}+\frac{1-\cos4\alpha}{2}+\cdots+\frac{1-\cos2n\alpha}{2}.$$
   Тогда
   $$S=\frac{n}{2}-\frac12\left(\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cdots+\cos2n\alpha\right).$$
   По формуле из пункта 1 для суммы косинусов:
   $$\cos2\alpha+\cos4\alpha+\cdots+\cos2n\alpha=\frac{\sin n\alpha\cos(n+1)\alpha}{\sin\alpha}.$$
   Следовательно,
   $$S=\frac{n}{2}-\frac{\sin n\alpha\cos(n+1)\alpha}{2\sin\alpha}.$$
   Если $$\alpha=\pi k,$$ то все слагаемые равны $$0,$$ поэтому
   $$S=0.$$

Ответ

1) $$S=\frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}},\ \alpha\ne2\pi k;\quad S=n,\ \alpha=2\pi k.$$
2) $$S=\frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha},\ \alpha\ne\pi k;\quad S=0,\ \alpha=\pi k.$$
3) $$S=\frac{n}{2}-\frac{\sin n\alpha\cos(n+1)\alpha}{2\sin\alpha},\ \alpha\ne\pi k;\quad S=0,\ \alpha=\pi k.$$