Упр.27.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.25. Докажите равенство cos(?/n)+cos(3?/n)+…+cos((2n-1)?/n)=0.

Рассмотрим сумму

$$S=\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{3\pi}{n}+\cdots+\cos \frac{(2n-1)\pi}{n}.$$

Умножим каждое слагаемое на $$2\sin \frac{\pi}{n}$$ и воспользуемся формулой

$$2\sin \alpha \cos \beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\beta-\alpha).$$

Тогда

$$ 2\sin \frac{\pi}{n}\, S= \left(\sin \frac{2\pi}{n}-\sin 0\right)+ \left(\sin \frac{4\pi}{n}-\sin \frac{2\pi}{n}\right)+\cdots+ \left(\sin \frac{2n\pi}{n}-\sin \frac{2(n-1)\pi}{n}\right). $$

В этой сумме все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому

$$ 2\sin \frac{\pi}{n}\, S=\sin \frac{2n\pi}{n}-\sin 0=\sin 2\pi-0=0. $$

Так как $$\sin \frac{\pi}{n}\neq 0,$$ то

$$S=0.$$

Ответ

$$\cos \frac{\pi}{n}+\cos \frac{3\pi}{n}+\cdots+\cos \frac{(2n-1)\pi}{n}=0.$$