Упр.27.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.24. Докажите равенство cos(2?/n)+cos(4?/n)+…+cos(2(n-1)?/n)+cos(2n?/n)=0.

Рассмотрим сумму

$$S=\cos\frac{2\pi}{n}+\cos\frac{4\pi}{n}+\cdots+\cos\frac{2(n-1)\pi}{n}+\cos\frac{2n\pi}{n}.$$

Используем формулу

$$2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta).$$

Положим $$\alpha=\frac{\pi}{n}, \quad \beta=\frac{2k\pi}{n}.$$ Тогда

$$2\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{2k\pi}{n}=\sin\frac{(2k+1)\pi}{n}-\sin\frac{(2k-1)\pi}{n}.$$

Сложим такие равенства при $$k=1,2,\dots,n.$$ Получим

$$2\sin\frac{\pi}{n}\,S=\left(\sin\frac{3\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}\right)+\left(\sin\frac{5\pi}{n}-\sin\frac{3\pi}{n}\right)+\cdots+\left(\sin\frac{(2n+1)\pi}{n}-\sin\frac{(2n-1)\pi}{n}\right).$$

В правой части все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому

$$2\sin\frac{\pi}{n}\,S=\sin\frac{(2n+1)\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{n}.$$

Так как

$$\sin\frac{(2n+1)\pi}{n}=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{n}\right)=\sin\frac{\pi}{n},$$

то

$$2\sin\frac{\pi}{n}\,S=0.$$

При $$n>1$$ имеем $$\sin\frac{\pi}{n}\neq 0$$, значит

$$S=0.$$

Ответ

$$\cos\frac{2\pi}{n}+\cos\frac{4\pi}{n}+\cdots+\cos\frac{2(n-1)\pi}{n}+\cos\frac{2n\pi}{n}=0.$$