Упр.27.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.23. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ S=1/2tg(1/2)+1/4tg(1/4)+…+1/2^(n-1)tg(1/2^(n-1))+1/2^ntg(1/2^n).

Используем тождество

$$\ctg \alpha-2\ctg 2\alpha=\frac{1}{\tg \alpha}+\frac{\tg^2\alpha-1}{\tg \alpha}=\frac{\tg^2\alpha}{\tg \alpha}=\tg \alpha.$$

Тогда для каждого слагаемого суммы

$$\frac{1}{2^k}\tg\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^k}\left(\ctg\frac{1}{2^k}-2\ctg\frac{1}{2^{k-1}}\right), \quad k=1,2,\dots,n.$$

Подставим это в сумму:

$$ \begin{aligned} S&=\frac12\tg\frac12+\frac14\tg\frac14+\cdots+\frac{1}{2^n}\tg\frac{1}{2^n}\\ &=\frac12\left(\ctg\frac12-2\ctg 1\right)+\frac14\left(\ctg\frac14-2\ctg\frac12\right)+\cdots+\frac{1}{2^n}\left(\ctg\frac{1}{2^n}-2\ctg\frac{1}{2^{n-1}}\right). \end{aligned} $$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$$ \begin{aligned} S&=\frac12\ctg\frac12-\ctg 1+\frac14\ctg\frac14-\frac12\ctg\frac12+\cdots+\frac{1}{2^n}\ctg\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n-1}}\ctg\frac{1}{2^{n-1}}\\ &=\frac{1}{2^n}\ctg\frac{1}{2^n}-\ctg 1. \end{aligned} $$

Ответ

$$S=\frac{1}{2^n}\ctg\frac{1}{2^n}-\ctg 1.$$