Упр.27.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.22. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ S=1/(sin(1)sin(3))+1/(sin(3)sin(5))+…+1/(sin(2n-1)sin(2n+1)).

Обозначим

$$S=\frac{1}{\sin 1\sin 3}+\frac{1}{\sin 3\sin 5}+\cdots+\frac{1}{\sin(2n-1)\sin(2n+1)}.$$

Используем тождество

$$\frac{1}{\sin a\sin b}=\frac{\cot a-\cot b}{\sin(b-a)},$$

а здесь $$b-a=2,$$ поэтому

$$\frac{1}{\sin(2k-1)\sin(2k+1)}=\frac{\cot(2k-1)-\cot(2k+1)}{\sin 2}.$$

Тогда

$$ S=\frac{1}{\sin 2}\Bigl[(\cot 1-\cot 3)+(\cot 3-\cot 5)+\cdots+(\cot(2n-1)-\cot(2n+1))\Bigr]. $$

Сумма телескопическая, поэтому все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$S=\frac{\cot 1-\cot(2n+1)}{\sin 2}.$$

Ответ

$$\frac{\cot 1-\cot(2n+1)}{\sin 2}$$