Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.21. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ S=1/(sin(О±)sin(2О±))+1/(sin(2О±)sin(3О±))+…+1/(sin((n-1)О±)sin(nО±)).

Преобразуем каждый член суммы:

$$ \frac{1}{\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)} = \frac{\sin((k+1)\alpha)-\sin(k\alpha)}{\sin\alpha\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)} $$

Используем формулу

$$ \sin((k+1)\alpha)-\sin(k\alpha)=2\cos\frac{(2k+1)\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}, $$

но удобнее заметить, что

$$ \frac{1}{\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)} = \frac{\cot(k\alpha)-\cot((k+1)\alpha)}{\sin\alpha}, $$

так как

$$ \cot x-\cot y=\frac{\sin(y-x)}{\sin x\sin y}. $$

Тогда

$$ S=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha}\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(\cot(k\alpha)-\cot((k+1)\alpha)\bigr). $$

Сумма телескопическая, поэтому все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$ S=\frac{\cot\alpha-\cot(n\alpha)}{\sin\alpha}. $$

Ответ

$$ S=\frac{\cot\alpha-\cot(n\alpha)}{\sin\alpha} $$