Упр.27.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Вычислите сумму $$S=\frac{1}{\sin(\alpha)\sin(2\alpha)}+\frac{1}{\sin(2\alpha)\sin(3\alpha)}+\ldots+\frac{1}{\sin((n-1)\alpha)\sin(n\alpha)}.$$

Используем формулу

$$\ctg x-\ctg y=\frac{\sin(y-x)}{\sin x\sin y}.$$

Тогда для каждого слагаемого

$$\frac{1}{\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)}=\frac{\ctg(k\alpha)-\ctg((k+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$

Следовательно, сумма телескопическая:

$$S=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin(k\alpha)\sin((k+1)\alpha)} =\frac{1}{\sin\alpha}\sum_{k=1}^{n-1}\bigl(\ctg(k\alpha)-\ctg((k+1)\alpha)\bigr).$$

После сокращения промежуточных слагаемых получаем

$$S=\frac{\ctg\alpha-\ctg(n\alpha)}{\sin\alpha}.$$

Ответ: $$\frac{\ctg\alpha-\ctg(n\alpha)}{\sin\alpha}.$$