Упр.27.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 27.20. Докажите равенство cos(?/19)+cos(3?/19)+…+cos(17?/19)=1/2.

Обозначим

$$S=\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos\frac{17\pi}{19}.$$

Умножим сумму на $$2\sin\frac{\pi}{19}$$ и применим формулу

$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)-\sin(y-x).$$

Тогда

$$ \begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{19}\,S &=2\sin\frac{\pi}{19}\cos\frac{\pi}{19} +2\sin\frac{\pi}{19}\cos\frac{3\pi}{19} +\cdots +2\sin\frac{\pi}{19}\cos\frac{17\pi}{19} \\ &=\left(\sin\frac{2\pi}{19}-\sin 0\right) +\left(\sin\frac{4\pi}{19}-\sin\frac{2\pi}{19}\right) +\cdots +\left(\sin\frac{18\pi}{19}-\sin\frac{16\pi}{19}\right). \end{aligned} $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся

$$2\sin\frac{\pi}{19}\,S=\sin\frac{18\pi}{19}-\sin 0=\sin\frac{18\pi}{19}.$$

Так как

$$\sin\frac{18\pi}{19}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{19}\right)=\sin\frac{\pi}{19},$$

то

$$2\sin\frac{\pi}{19}\,S=\sin\frac{\pi}{19}.$$

Поскольку $$\sin\frac{\pi}{19}\neq 0,$$ делим обе части на $$2\sin\frac{\pi}{19}$$:

$$S=\frac12.$$

Ответ

$$\frac12$$