Упр.27.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) S=sin(2О±)+sin(4О±)+…+sin(2nО±);
2) S=cos^2(О±)+cos^2(3О±)+…+cos^2((2n-1)О±).

1) Пусть

$$S=\sin 2\alpha+\sin 4\alpha+\dots+\sin 2n\alpha.$$

Используем формулу

$$2\sin \alpha \sin 2k\alpha=\cos(2k-1)\alpha-\cos(2k+1)\alpha.$$

Тогда

$$ 2\sin \alpha \, S =2\sin \alpha(\sin 2\alpha+\sin 4\alpha+\dots+\sin 2n\alpha) $$
$$ =(\cos \alpha-\cos 3\alpha)+(\cos 3\alpha-\cos 5\alpha)+\dots+(\cos(2n-1)\alpha-\cos(2n+1)\alpha) $$
$$ =\cos \alpha-\cos(2n+1)\alpha. $$

Следовательно, при $$\sin \alpha\neq 0$$

$$ S=\frac{\cos \alpha-\cos(2n+1)\alpha}{2\sin \alpha}. $$

Применим формулу разности косинусов:

$$ \cos \alpha-\cos(2n+1)\alpha =2\sin n\alpha \sin(n+1)\alpha. $$

Тогда

$$ S=\frac{\sin n\alpha \sin(n+1)\alpha}{\sin \alpha}. $$

Если $$\alpha=\pi k$$, то все слагаемые равны нулю, значит $$S=0$$.

2) Пусть

$$S=\cos^2\alpha+\cos^2 3\alpha+\dots+\cos^2(2n-1)\alpha.$$

Используем формулу

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$ S=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}+\frac{1+\cos 6\alpha}{2}+\dots+\frac{1+\cos 2(2n-1)\alpha}{2} $$
$$ =\frac n2+\frac12\bigl(\cos 2\alpha+\cos 6\alpha+\dots+\cos 2(2n-1)\alpha\bigr). $$

Сумму косинусов преобразуем по формуле

$$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}. $$

В результате получаем

$$ \cos 2\alpha+\cos 6\alpha+\dots+\cos 2(2n-1)\alpha =\frac{\sin 4n\alpha}{2\sin 2\alpha}. $$

Значит, при $$\sin 2\alpha\neq 0$$

$$ S=\frac n2+\frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}. $$

Если $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k$$, то $$\cos(2m-1)\alpha=0$$ для всех $$m$$, поэтому $$S=0$$.

Если $$\alpha=\pi k$$, то каждое слагаемое равно $$1$$, значит $$S=n$$.

Ответ

1) $$S=\frac{\sin n\alpha \sin(n+1)\alpha}{\sin \alpha}$$ при $$\sin \alpha\neq 0$$; если $$\alpha=\pi k$$, то $$S=0$$.
2) $$S=\frac n2+\frac{\sin 4n\alpha}{4\sin 2\alpha}$$ при $$\sin 2\alpha\neq 0$$; если $$\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k$$, то $$S=0$$; если $$\alpha=\pi k$$, то $$S=n$$.