Упр.27.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2?/7)+cos(4?/7)+cos(6?/7)=-1/2;
2) sin(10°)+sin(20°)+…+sin(50°)=sin(25°)/(2sin(5°)).

1) Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin \alpha \cos \beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta).$$

Тогда

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7} =\sin \frac{3\pi}{7}-\sin \frac{\pi}{7}, $$

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7} =\sin \frac{5\pi}{7}-\sin \frac{3\pi}{7}, $$

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{6\pi}{7} =\sin \pi-\sin \frac{5\pi}{7}. $$

Сложим эти равенства:

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}\right) =\sin \pi-\sin \frac{\pi}{7}. $$

Так как $$\sin \pi=0,$$ получаем

$$ 2\sin \frac{\pi}{7}\left(\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}\right) =-\sin \frac{\pi}{7}. $$

Делим на $$2\sin \frac{\pi}{7}\neq 0$$:

$$ \cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}=-\frac12. $$

2) Умножим обе части на $$2\sin 5^\circ$$:

$$ 2\sin 5^\circ(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ). $$

Применим формулу

$$ 2\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta). $$

Тогда

$$ 2\sin 5^\circ\sin 10^\circ=\cos 5^\circ-\cos 15^\circ, $$

$$ 2\sin 5^\circ\sin 20^\circ=\cos 15^\circ-\cos 25^\circ, $$

$$ 2\sin 5^\circ\sin 30^\circ=\cos 25^\circ-\cos 35^\circ, $$

$$ 2\sin 5^\circ\sin 40^\circ=\cos 35^\circ-\cos 45^\circ, $$

$$ 2\sin 5^\circ\sin 50^\circ=\cos 45^\circ-\cos 55^\circ. $$

Складывая, получаем сокращение промежуточных слагаемых:

$$ 2\sin 5^\circ(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ) =\cos 5^\circ-\cos 55^\circ. $$

По формуле

$$ \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2} $$

имеем

$$ \cos 5^\circ-\cos 55^\circ =2\sin 30^\circ\sin 25^\circ =\sin 25^\circ. $$

Следовательно,

$$ 2\sin 5^\circ(\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ)=\sin 25^\circ, $$

откуда

$$ \sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ =\frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}. $$

Ответ

$$\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}=-\frac12,$$

$$\sin 10^\circ+\sin 20^\circ+\sin 30^\circ+\sin 40^\circ+\sin 50^\circ=\frac{\sin 25^\circ}{2\sin 5^\circ}.$$